DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal estándar o tipificada



tiene media cero

y desviación estándar igual a uno

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable x dependerá del área sombreada en la figura. Y para calcularla utilizaremos la tabla de la distribución normal estándar. 

Para poder utilizar la tabla debemos transformar la variable x que sigue una distribución N(μ,σ) en otra variable:

 

que siga una distribución N(0,1).

PROBLEMAS 

Problema 1. Las edades de inicio de cierta enfermedad tienen una distribución aproximadamente normal, con una media de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años. Un niño contrae recientemente la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño tenga:

            a)   menos de 10 años?

            b)   menor o igual a 13?

            c)   mayor o igual a10 años?

            d)   mayor 9 años?

            e)   Menos de 12?

            f)   menor o igual a15 años?

Problema 2. En un estudio de dactilografía una característica cuantitativa muy importante es el total de surcos en los 10 dedos de un individuo. Suponga que el total de surcos en los dedos de los individuos en una población tienen distribución aproximadamente normal con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Calcular la probabilidad de que un individuo, elegido al azar  de entre esa población, tenga un total de surcos en los dedos:

            a)   De 200 o más.

            b)   Menos de 100.

            c)   Entre 100 y 200.

            d)   Entre 200 y 250.

            e)   En una población de 10 000 personas, ¿cuántos puede esperarse que tengan un total de 200 surcos o más?

Problema 3. Si la capacidad de la cavidad craneana de una población tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 1400 cc y una desviación estándar 125cc, calcular la probabilidad de que una persona, elegida aleatoriamente de entre esa población, tenga una capacidad de cavidad craneana:

            a)   Mayor que 1450 cc.

            b)   Menor que 1350 cc.

            c)   Entre 1300 y 1500 cc.

3.6.1        El tiempo promedio de permanencia en un hospital por enfermedad crónica para un tipo de paciente es de 60 días, con una desviación estándar de 15. Suponer que se tiene una distribución aproximadamente normal para el tiempo de hospitalización, calcular la probabilidad de que un paciente, elegido aleatoriamente de entre ese grupo, tenga una hospitalización:

            a)   Mayor que 50 días.

            b)   Menor que 30 días.

            c)   Entre 30 y 60 días.

            d)   Más de 90 días.

3.6.2        Si el nivel total de colesterol en cierta población tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml, calcular la probabilidad de que un individuo, elegido azar de entre esa población, tenga un nivel de colesterol:

            a)   Entre 180 y 200 mg/100 ml.

            b)   Mayor que 225 mg/100 ml.

            c)   Menor que 150 mg/100 ml.

            d)   Entre 190 y 210 mg/100 ml.

3.6.3        Dada una población con distribución normal, con una media de 75 y una variancia de 625, calcular:

            a)   P(50 £ x £ 100).

            b)   P(x > 90).

            c)   P(x < 60).

            d)   P(x ³ 85).

            e)   P(30 £ x £110).

3.6.4        Los pesos de una población de mujeres jóvenes con la mayoría de edad tienen una distribución aproximadamente normal con una media de 132 libras y una desviación estándar de 15. Calcular la probabilidad de que una joven, elegida aleatoriamente de entre esa población, pese:

            a)   Más de 155 libras.

            b)   100 libras o menos.

            c)   Entre 105 y 143 libras.

3.7.15    El método usual para enseñar una habilidad de cuidado propio para débiles mentales, es efectivo en el 50 por ciento de los casos. Un nuevo método es ensayado con 10 enfermos. Si el nuevo método es mejor que el habitual, ¿cuál es la probabilidad de que siete o más individuos lo aprendan?

3.7.16    Los registros del personal de un  gran hospital muestra que el 10 por ciento de los empleados de mantenimiento y aseo renuncian un año después de ser contratados. Si 10 nuevos empleados son contratados:

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de ellos se encuentren trabajando un año después?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno renuncie un año después?

c)      ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos renuncien antes de terminar el año?

3.7.17    En cierto país en desarrollo, el 30 por ciento de los niños están desnutridos. En una muestra aleatoria de 25 niños de esa área, ¿cuál es la probabilidad de que el número de niños desnutridos sea:

a)      Exactamente 10?

b)      Menos de 5?

c)      Cinco o más?

d)     Entre tres y cinco inclusive?

e)      Menos de siete, pero más de cuatro?

3.7.18    En promedio, dos estudiantes por hora son enviados para tratamiento en la sala de primeros auxilios en una gran escuela primaria.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que durante una hora dada, tres estudiantes lleguen a la sala de primeros auxilios para tratamiento?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que durante una hora dada, dos o menos estudiantes sean enviados a la sala de primeros auxilios?

c)      ¿Cuál es la probabilidad de que entre tres y cinco estudiantes, inclusive, sean enviados a la sala de primeros auxilios durante una hora dada?

3.7.19    En promedio, cinco fumadores pasan por la esquina de cierta calle cada 10 minutos.¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de 10 minutos, el número de fumadores que pasen sea de:

a)      Seis o menos?

b)      Siete o más?

c)      Exactamente ocho?

3.7.20    En un área metropolitana hay en promedio un suicidio por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que durante un mes dado, el número de suicidios sea:

a)      Más de uno?

b)      Menos de uno?

c)      Más de tres?

3.7.21    El IQ (coeficiente intelectual) de los individuos admitidos en la escuela estatal para retrasados mentales tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 60 y una desviación estándar de 10.

a)      Calcular la cantidad de individuos con un IQ mayor a 75.

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga un IQ entre 55 y 75?

c)      Calcular P(50 £ X £ 70)

3.7.22    Un supervisor de enfermería encontró que le equipo de enfermeras, en promedio, termina cierta tarea en 10 minutos. Si el tiempo requerido para completar la tarea sigue una distribución aproximadamente normal con una desviación estándar de 3 minutos, calcular:

a)   La cantidad proporcional de enfermeras que terminan un atarea en menos de 4 minutos.

b)   La cantidad proporcional de enfermeras que necesitan más de cinco minutos para terminar un área.

c)   La probabilidad de que una enfermera a la que recientemente se le asignó la tarea, termine en 3 minutos.

3.7.23    Los puntajes logrados en una prueba de aptitud para estudiantes de enfermería sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 500 y una variancia de 10 000.

a)      ¿Qué proporción de los individuos examinados logrará menos de 200 puntos?

b)      Una persona está por resolver un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que logre un puntaje de 650 o más puntos?

c)      ¿Qué proporción logrará puntajes entre 350 y 675 (puntos)?

3.7.24    Dada una variable binomial con una media de 20 y una variancia de 16, calcular n y p.

3.7.25    Supóngase que una variable X se distribuye normalmente, con un adesviaciín estándar de 10. Dado que el .0985 de los valores de X son mayores que 70, ¿cuál es el valor de la media de X?

3.7.26    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, calcular el valor numérico de k, tal que P(m – ks £ X £ m+ ks) = .754

3.7.27    Dada la variable aleatoria X distribuida normalmente, con una media de 100 y una desviación estándar de 15, calcular el valor numérico de k, tal que:

a)   P(X £ k) = .0094.

b)   P(X ³ k)

c)   P(100 £ X £ k) = .4778.

d)   P(k´£ X £ k) = .09660, donde k´ y k son equidistantes de m.

3.7.28    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con s = 10 y P(X £ 40) = .0080, calcular m.

3.7.29    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con s = 15 y P(X £ 50) = .9904, calcular m.

3.7.30    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con s = 5 y P(X ³ 25) = .0526, calcular s.

3.7.31    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con m = 5 y P(X £ 10) = .0778, calcular s.

3.7.32    Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con m = 30 y P(X £ 50) = .9772, calcular s.